Pärnu Sütevaka Humanitaargümnaasium

Pierre de Fermat

Referaat

Dan Bogdanov

Tertia H

Pärnu 1998

Pierre Fermat sündis 17. augustil 1601. aastal Beaumont-de-Lomagne’i linnas Prantsusmaal. Tema isa oli edukas nahakaupmees ja Beaumont’ konsul. Perekonnal oli ema suguvõsast pärinev aadlitiitel. Tänu sellele ei pidanud matemaatik kunagi rahale mõtlema.

Klassikalise hariduse omandas ta frantsiskaanide ja jesuiitide juures õppides. 1620-ndatel aastatel astus ta Toulouse’i ülikooli. Paari aasta pärast asus ta elama Bordeausse, kus alustas oma esimesi tõsiseid matemaatilisi uurimusi. Seal tutvus ta matemaatiku Beaugrand’iga, kellega tal olid samasugused huvid. Edasi läks Fermat Orleans’i ülikooli, kus ta sai õigusteaduste kraadi.

Ta ei olnud ühegi teadusühingu liige, see-eest oli ta kirjavahetuses Carcavi, Brulart de Saint Martini, Mersenne’i, Robervali, Pascali, Huygensi, Descartes’i, Frénicle’i, Gassendi, Lalouvere’i, Torricelli, Van Schooteni, Digby ja Wallisega.

1631 aastal hakkas ta tööle advokaadina ja ostis endale nõuniku ametikoha Toulouse’i parlamendis. Olles valitsuse ametnik, muutis ta oma nime Pierre de Fermat’ks. Oma edasise elu veetiski ta peamiselt Toulouse’is, kodulinnas Beaumont’s ja väikeses Castres’ linnas.

Pärast mitmeid aastaid ametikõrgendusi ülendati ta 1652. aastal kriminaalkohtu kõrgeimaks ametnikuks. 1650-ndatel laastas seda Prantsusmaa osa katk ja Fermat’ kuulutati 1653. aastal surnuks. Hiljem viga parandati ja teatati: “Informeerisin teid varem Fermat’ surmast. Ta on elus ja nüüd ei ole enam põhjust tema tervise pärast karta, kuigi mõni aeg tagasi pidasime teda surnud meheks.”

Fermat leidis endale mõttekaaslase Carcavi, kes oli samuti Toulouse’i parlamendi nõunik. Samas jätkas ta kirjavahetust Beaugrand’iga. 1636 läks Carcavi Pariisi kuninglikuks raamatukoguhoidjaks. Seal tutvus ta Mersenne’i ja teiste sealsete matemaatikutega. Mersenne huvitus Carcavi kirjeldustest Fermat’ uurimustest langevate kehade kohta ja kirjutas Toulouse’i.

Fermat vastas ja peale vigade väljatoomise, mis tema arvates Galileo oli oma uurimustes vabalt langevate kehade kohta teinud, rääkis ta ka oma töödest spiraalide kohta ja Apolloniuse Plane loci taastamisest. Lisaks ütles ta veel: “Olen leidnud mitmeid analüüse erinevate probleemide jaoks, nii aritmeetilisi kui geomeetrilisi, mille jaoks Vi?te analüüsist ei piisa. Ma jagan neid teadmisi teie kõigiga, kui te vaid soovite ja teen seda ilma igasuguste ambitsioonideta, milledest olen ma kaugem ja võõram kui mistahes inimene siin maailmas.”

Mõnes mõttes on see irooniline, et Fermat’ sai tuntuks just vaba langemise uurimise järgi, sest tegelikult oli tema huvi füüsikaliste rakenduste vastu väike. Ta oli rohkem huvitatud geomeetriliste teoreemide tõestamisest kui nende suhetest reaalsesse ellu. Kirjas oli ka kaks probleemi Maksimumi kohta, mida Fermat palus Mersenne’il edasi anda Pariisi matemaatikutele. See saigi tema stiiliks – anda teistele probleeme, mille lahendusi ta ise teadis.

Roberval ja Mersenne leidsid, et Fermat’ probleemid nii esimeses kui järgnevates kirjades olid äärmiselt rasked ja isegi lahendamatud. Nad palusid tal teatavaks teha kasutatud meetodid ja Fermat saatiski “Meetod Maksimumi, Miinimumi ja puutujate kindlakstegemiseks kõverjoontel” ja oma taastatud Apolloniuse Plane Loci Pariisi matemaatikutele

Maailma ühe juhtiva matemaatiku reputatsioon tuli kiiresti, kuid tema tööde avaldamine polnud eriti lihtne. Seda põhiliselt seetõttu, et Fermat ei tahtnud iialgi oma töid “lihvitud” vormi panna. Siiski mõned tema töödest avaldati. Näitekse Hérigone lisas Fermat’ meetodid Maksimumi ja Miinimumi kohta oma suurteosesse “Cursus mathematicus”.

Fermat’ järjest laienev korrespondents teiste matemaatikutega ei leidnud alati kõige paremat vastuvõttu. Frenicle de Bessy jaoks tundusid Fermat’ meetodid võimatutena ja ta kirjutas viimasele vihase kirja. Kuigi Fermat’ andis vastuses rohkem selgitavaid detaile, jäi de Bessyle siiski arvamus, et Fermat’ norib ta kallal.

Varsti sattus Fermat aga vastamisi oluliselt suurema matemaatikuga kui seda oli de Bessy. Kui Beaugrand saatis talle koopia Descartes’i La Dioptrique’ist, ei pööranud ta sellele alguses eriti tähelepanu, sest parasjagu oli käsil arutlus Robervali ja Etienne Pascaliga integratsioonimeetodite ja nende kasutamise üle raskuskeskmete leidmisel.

Kui Mersenne palus tal Descartes’i teost hinnata, kirjeldas Fermat’ seda “pimedas kobamisena”. Ta väitis, et Descartes ei olnud refraktsiooni seadust õigesti tuletanud. Võib loomulikuks pidada, et Descartes’i see arvamus ei rõõmustanud. Mõne aja pärast suurenes tema viha veelgi, sest talle hakkas tunduma, et Fermat’ töö puutujate ja kõverjoontega hakkab tema enda au ja uhkust, tema tippteost La Géométrie, varjutama.

Nõnda asus Descartes ründama Fermat’ meetodeid. Vaidlusse segati veel Roberval ja Etienne Pascal ning vahekohtunikuks võeti Desargues. Fermat’ tõestas oma meetodid ja Descartes kirjutas: “…nähes seda viimast meetodit, mida sa kasutad kõverjoonte puutujate leidmiseks, ei saa ma teisiti vastata kui, et see on väga hea ja kui sa oleks vaid seda kohe alguses nii seletanud, ei oleks ma selle vastu hakanud.”

See ei lõpetanud siiski kõiki probleeme ja ei kindlustanud Fermat’ positsioone lõplikult. Descartes üritas tema reputatsiooni veel kahjustada. Näiteks, kuigi ta tunnistas kirjas Fermat’le, et tema meetodid tsükloidi puutujate leidmiseks on õige, saatis ta Mersenne’ile hoopis teistsuguse sisuga kirja väites, et see on vale ja et Fermat’ on vähevõimekas mõtleja ja matemaatik. Kuna Descartes oli tuntud ja austatud, õnnestus tal Fermat’ reputatsiooni küllaltki palju kahjustada.

Ajavahemikul 1643 – 1654 Fermat’ oma Pariisi kolleegidega ühendust ei võtnud. Seda mitmel põhjusel. Esiteks töö võttis võimaluse täielikult matemaatikale pühenduda, teiseks toimus Prantsusmaal frondööride liikumise juhtimisel kodusõda ja alates 1948. aastast sekkus sellesse ka Toulouse. Ja lõpuks veel 1651. aasta katk, millel olid Toulouse’is hirmsad tagajärjed.

Sellel ajal töötas Fermat arvuteooria kallal. Tuntuks ongi ta saanud just Fermat’ Suure teoreemiga, mis väidab, et võrrand xⁿ + yⁿ = zⁿ ei lahendu nullist erinevates naturaalarvudes kui n ³ 3.

Kui n = 2, siis on võrrandi lahendid järgmised –

x = 2ab

y = b² – a²

z = b² + a², sest

(2ab)² + (b²-a²)² = (b² + a²)²

Seda juhul kui a ja b on suvalised naturaalarvud ja a < b.

Fermat’ kirjutas Diophantose Aritmeetika äärisele: “Olen avastanud tõeliselt hämmastava tõestuse, mille kirjeldamiseks see ääris on liiga väike.” Need ääremärkmed said tuntuks alles siis kui Fermat’ poeg Samuel andis välja raamatu koos oma isa märkmetega. Fermat’ Suure teoreemi lahendamisest räägib Lisa 1.

Korrespondents Pariisi matemaatikutega jätkus 1654. aastal kui Blaise Pascal, Etienne Pascali poeg küsis temalt kinnitust oma ideedele tõenäosuse kohta. Blaise teadis Fermat’d oma isa kaudu, kes oli 3 aastat tagasi surnud. Koos lõid nad pärast mõneajalist kirjavahetust tõenäosusteooria.

Fermat’ hakkas jälle otsima võistlust, matemaatikuid, kes oleksid nõus tema probleeme lahendama. Ta huvitus nüüd põhiliselt arvuteooriast, aga kedagi teist see jällegi ei huvitanud. Vaid Frenicle de Bessy oli arvuteooriast tõsiselt huvitatud, kuid ei omanud piisavalt andeid, et sellel alal mingeid saavutusi teha. Ühe Fermat’ esitatud probleemi (Nx² + 1 = y², kus N ei tohi olla ühegi arvu ruut) lahendasid Wallis ja Brouncker, kes arendasid oma lahenduses mitmeid võimalusi.

Fermat’ esitas uusi probleeme, nagu “kahe kuubi summa ei saa olla kuup” (Fermat’ teoreemi üks juht), on olemas täpselt kaks täisarvulist lahendit võrrandile x² + 4 = y³ ja võrrandil x² + 2 = y³ on ainult üks täisarvuline lahend. Keegi ei saanud aru Fermat’ soovist, et selliseid probleeme lahendades jõutaks sügavamate teoreetiliste tulemusteni.

Sellel ajal hakkas üks Descartes’i õpilane avaldamiseks õpetaja korrespondentsi koguma ja pöördus selleks ka Fermat’ poole. See pani Fermat’d üle vaatama argumente, mida ta oli kasutanud 20 aastat tagasi. Eriti rahulolematu oli ta olnud Descartes’i nägemusega valguse murdumisest. Fermat esitas oma arvamuse, tuletades selle ühest valguse põhiomadusest, mille ta ise välja tõi, nimelt valgus läbib alati lühima võimalikest teedest. Fermat’ printsiip, praegu optika üks põhialusedid sellel ajal matemaatikute seas eriti toetust ei leidnud.

1656. aastal algas Fermat’ kirjavahetus Huygensiga, kes oli huvitatud tõenäosusest. Varsti viis Fermat’ teema osavalt üle arvuteooriale, mis kahjuks ka Huygensit eriti ei huvitanud. Fermat siiski proovis ja oma töös Uus hulk avastusi arvude teaduses, mille ta Carcavi abiga Huygensile saatis näitas ta rohkem oma meetodeid kui üheski töös varem.

Fermat’ kirjeldas oma lõpmatu järgnevuse meetodit ja andis näite, kuidas seda saaks kasutada tõestamiseks, et iga algarv kujul 4k + 1 on võimalik avaldada kahe ruudu summana. Selles meetodis esines puudusi, nimelt ei suutnud Fermat näidata, kuidas saab suuremast arvu abil leida väiksemat arvu. Matemaatikud kaotasid huvi ja meetod jäi segaseks kuni Euler selle probleemi lahendas.

Fermat’d on kirjeldatud salatseva ja sõnaahtrana. Ta ei armastanud endast rääkida ja ka oma mõtete avaldamine oli talle vastumeelt. Carl B. Boyer on tema kohta kirjutanud nii: “Tema analüüsialase töö tähtsuse mõistmine oli pikaajaline protsess, sest ta jäi Francois Vi?te sümbolite süsteemi juurde. See oli notatsioon, mille Descartes’i Géométrie oli aegunuks lugenud. Selle märgistussüsteemi halvad omadused lõid vähem välja arvuteooriaga seonduva juures, kuid siin polnud kahjuks kedagi temale võrdväärse huviga mõttekaaslast.”

Pierre de Fermat suri 12. jaanuaril 1665. aastal väikelinnas Castres’s.

Lisa 1 - Fermat’ Suure teoreemi lahendamine

Fermat’ ise ei suutnud oma teoreemi täielikult tõestada. Seda on näha ka sellest, et ta ei esitanud seda kunagi teistele matemaatikutele lahendamiseks. Avalikult näitas ta vaid juhte, kus n = 3 ja n = 4, sest nendele juhtudele oli tal tõestus olemas. Koguteoreemist ei teinud Fermat ise iialgi juttu.

Tegelikult on temast säilinud matemaatilistes töödes ainult üks tõestus – ta tõestas, et täisnurkse kolmnurga pindala ei saa olla ruut. Ehk siis ei ole olemas naturaalarve x, y ja z nii, et x² + y² = z² ja xy/2 on mingi arvu ruut. Sealt oli lihtne järeldada teoreem tõestust n = 4 puhul.

1753. aastal kirjutas Euler Goldbachile oma kirjas, et tal on tõestus n = 3 kohta. Tõestus oli aga rajatud eksijäreldusele ja seega ebakorrektne. Esimese suurema läbimurde saavutas Sophie Germain, kes arutles nii – kui n ja 2n + 1 on mõlemad algarvud, siis valemis xⁿ + yⁿ = zⁿ peab kas x, y, või z jaguma n-ga. Fermat’ teoreem jaguneb kaheks, esimene variant on selline, kus ei x, y ega z ei jagu n-ga, teise puhul jagub kas x, y või z n-ga. Germain tõestas esimese variandi kõigi sajast väiksemate sobivate n-de puhul. Hiljem Legendre jätkas tema tööd ja tõestas esimese variandi n väärtused, mis olid väiksemad kui 197.

Edasi tegelesid probleemiga pikemalt veel Legendre ja Dirichlet, kellel õnnestus tuua selgust teise variandi arvude kohta, kuid üldise tõestuseni nad ei jõudnud. 1832 tõestas Dirichlet n = 14 puhul. Ta oli ka proovinud tõestada n = 7, kuid ei suutnud kokku panna tugevat, selget tõestust. Viimase lahendas 1839 aastal Lamé, kes tutvustas küll uusi meetodeid, kuid need olid niivõrd rasked, et jäi mulje nagu oleks n suuremate väärtuste tõestamine võimatu kui ei tulda välja radikaalselt uute ideedega.

Teoreemiga tegelesid paljud matemaatikud, nende hulgas ka Cauchy, Gauss, Liouville, Vandiver, Jensen ja Bernoulli. Kuigi lahenduste eest pakuti suuri auhindu, ei suutnud keegi välja töötada täiskorrektset lahendust. Vahemikus 1908 – 1912 pakuti näiteks välja üle 1000 vale tõestuse. Ainus asi, mis midagi edasi viis, oli arvutite kasutamine, millede peal Kummeri tehnikate rakendamine tõestas esimesed neli moljonit naturaalarvu, mis näitas vaid proovivate meetodite mõttetust.

Lõpusirgele jõudis Fermat’ teoreemi lahendamine 1955. aastal Yutaka Taniyama täiesti teemavälise küsimusega elliptilistest kõveratest üldvalemiga y² = x³ + ax + b konstantidega a ja b. Koostöö Weiliga andis tulemuseks Shimura-Taniyama-Weili Oletuse, mille side Fermat’ teoreemiga leiti 1986. aastal Frey ja Saarbrückeni poolt. Sealt järeldus, et Fermat’ teoreem pole lihtsalt arvuteooriaga seotud huvitav võrrand, vaid on seotud ruumi algomadustega.

1993. aastal Andrew Wiles, inglise matemaatik, kes töötas Princetonis, USA-s, andis esimese täieliku tõestuse, mis otseselt tulenes Shimura-Taniyama-Weili Oletuse uurimisest. Hiljem samal aastal tunnistas ta mõnede tõestuse kohtade ebakorrektsuse. Mõned arvutused ei olnud lõpetatud ja ta lubas need “lähitulevikus” lõpetada. Pärast mitmeid edutuid katseid erinevate meetoditega hakkasid teised matemaatikud juba kriitilisi artikleid avaldama.

6. oktoober 1994 avaldas Wiles lõpetatud tõestuse, mis oli eelmise lihtsustatud vorm. Nii kompleksseid tõestusi nagu seda on Fermat’ teoreemi tõestus, ei saa kunagi täiesti korrektseks lugeda. Väike kahtlus on alles ka praegu, kuigi enamus matemaatikuid võtab Wilesi tõestust kui õiget ja lõplikku.

Kasutatud materjalid:

St Andrewsi ülikooli

Matemaatiliste ja Arvutusteaduste kooli matemaatika ajaloo arhiiv

(School of Mathematical and Computational Sciences, University of St Andrews, The MacTutor History of Mathematics archive)

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/

Artiklid:

Pierre de Fermat elulugu (The Biography of Pierre de Fermat)

Fermat’ suur teoreem (Fermat’s last theorem)

Algarvude uurimine (Prime numbers)